Câu 4.79 trang 116 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải các bất phương trình :

a. \(\left| {3 - \sqrt {{ {x}} + 5} } \right| > x\)

b. \(7\left| {4 - \sqrt {{ {x}} + 9} } \right| > x - 9\)

c. \(x + 13 + \left| {24 - 6\sqrt {6 - x} } \right| > 0\)

d. \(\sqrt {{ {x}}\left( {{ {x}} + 6} \right) + 9}  - \sqrt {{{ {x}}^2} - 6{ {x}} + 9}  > 1\)

Giải:

a. * Nếu \(-5 ≤ x < 0\) bất phương trình luôn luôn đúng.

* Xét \(x ≥ 0.\)

Nếu \(3 < \sqrt {x + 5} \) tức là \(x > 4\), bất phương trình đã cho tương đương với \(\sqrt {x + 5}  > x + 3.\) Không có x thỏa mãn bất phương trình này.

Nếu \(3 \ge \sqrt {x + 5} \) tức là x ≤ 4, bất phương trình đã cho tương đương với \(3 - x > \sqrt {x + 5} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 3}\\{9 - 6x + {x^2} > x + 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 3}\\{{x^2} - 7x + 4 > 0}\end{array}} \right.\)

\(\Leftrightarrow x < \dfrac{{7 - \sqrt {33} }}{2}.\)

Kết hợp ta có : \( - 5 \le x < \dfrac{{7 - \sqrt {33} }}{2}.\)

b. \(x \in \left[ { - 9;16} \right).\)

c. Bất phương trình đã cho tương đương với

\(\left| {24 - 6\sqrt {6 - x} } \right| >  - x - 13.\)     (1)

Điều kiện của bất phương trình là \(x ≤ 6.\)

* Nếu \(– x – 13 < 0\) tức là \(x > -13\), bất phương trình luôn luôn nghiệm đúng.

Vậy mọi \(x \in \left( { - 13;6} \right]\) là nghiệm của bất phương trình.

* Với \(x ≤ -13,\) ta có \(\sqrt {6 - x}  > \sqrt {16}  = 4\) nên \(24 - 6\sqrt {6 - x}  < 0.\)

Do đó

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow 6\sqrt {6 - x}  - 24 >  - x - 13\\ \Leftrightarrow 6\sqrt {6 - x}  >  - x + 11\\ \Leftrightarrow 36\left( {6 - x} \right) > {x^2} - 22x + 121\\ \Leftrightarrow {x^2} + 14x - 95 < 0\\ \Leftrightarrow  - 19 < x < 5.\end{array}\)

Vậy trong trường hợp đang xét, mọi \(x \in \left( { - 19; - 13} \right]\) là nghiệm của bất phương trình.

Kết luận :

Tập nghiệm là \(S = \left( { - 13;6} \right] \cup \left( { - 19; - 13} \right] = \left( { - 19;6} \right].\)

d. \(x > \dfrac{1}{2}.\) Hướng dẫn. Bất phương trình được viết thành:

\(\left| {x + 3} \right| - \left| {x - 3} \right| > 1.\)

Sachbaitap.com