Câu 4.85 trang 116 SBT Đại số 10 Nâng cao

Cho các số không âm a, b, c. Chứng minh rằng :

a. \(\dfrac{{{a^6} + {b^9}}}{4} \ge 3{a^2}{b^3} - 16\)

b. \(a + b + 2{a^2} + 2{b^2} \ge 2ab + 2b\sqrt a  + 2a\sqrt b .\)

Giải:

a. Bất đẳng thức cần chứng minh được biến đổi thành :

\({a^6} + {b^9} + 64 \ge 12{a^2}{b^3}.\)

Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, ta có :

\({a^6} + {b^9} + 64 \ge 3\sqrt[3]{{{a^6}{b^9}.64}} = 12{a^2}{b^3}.\)

Vậy

\({a^6} + {b^9} + 64 \ge 12{a^2}{b^3}\) hay \(\dfrac{{{a^6} + {b^9}}}{4} \ge 3{a^2}{b^3} - 16.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 2, \(b = \sqrt[3]{4}.\)

b. Bất đẳng thức cần chứng minh được biến đổi thành :

\({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - \sqrt a } \right)^2} + {\left( {a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = 0\) hoặc \(a = b = 1\).

Điều này luôn luôn đúng.

Sachbaitap.com