Câu 5.19 trang 182 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm các giới hạn sau

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\tan 3x} \over {\tan 5x}}\)                            b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\cos 2x - 1} \over {{{\sin }^2}3x}}\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\tan x - \sin x} \over {{x^3}}}\)                    d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi  \over 2}} \left( {{\pi  \over 2} - x} \right)\tan x\)

Giải

a) \({3 \over 5};\)                      b) \( - {2 \over 9};\)                          c) \({1 \over 2};\)

\( \bullet \) Cách 1

\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi  \over 2}} \left( {{\pi  \over 2} - x} \right)\tan x = \mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi  \over 2}} \left( {{\pi  \over 2} - x} \right)\cot \left( {{\pi  \over 2} - x} \right)  \cr&  = \mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi  \over 2}} {{\left( {{\pi  \over 2} - x} \right)} \over {\sin \left( {{\pi  \over 2} - x} \right)}}.\cos \left( {{\pi  \over 2} - x} \right) = 1 \cr} \)

(Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi  \over 2}} {{{\pi  \over 2} - x} \over {\sin \left( {{\pi  \over 2} - x} \right)}} = 1\)  và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi  \over 2}} \cos \left( {{\pi  \over 2} - x} \right) = \cos 0 = 1\) )

\( \bullet \) Cách 2. Đặt \({\pi  \over 2} - x = t\)  thì khi \(x \to {\pi  \over 2}\) ta sẽ có \(t \to 0.\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi  \over 2}} \left( {{\pi  \over 2} - x} \right)\tan x = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} t\tan \left( {{\pi  \over 2} - t} \right)\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} t\cot t = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} {t \over {\sin t}}.\cot t = 1.\)

Sachbaitap.com