Câu 5.2 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Biết AC = 6cm, BD = 8cm. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi X, Y, Z, T theo thứ tự là trung điểm các cạnh MN, NP, PQ, QM.

a. Chứng minh rằng MNPQ là hình chữ nhật.

b. Tính diện tích của tứ giác XYZT.

Giải:                                                                        

a. Trong ∆ ABD ta có:

M là trung điểm của AB

Q là trung điểm của AD

nên MQ là đường trung bình của  ∆ ABD.

 ⇒ MQ // BD và MQ = \({1 \over 2}\)BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

Trong ∆ CBD ta có:

N là trung điểm của BC

P là trung điểm của CD

nên NP là đường trung bình của ∆ CBD

⇒ NP // BD và NP = \({1 \over 2}\)BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MQ // NP và MQ = NP nên tứ giác MNPQ là hình bình hành

AC ⊥ BD (gt)

MQ // BD

Suy ra: AC ⊥ MQ

Trong ∆ ABC có MN là đường trung bình ⇒ MN // AC

Suy ra: MN ⊥ MQ hay \(\widehat {NMQ} = 90^\circ \)

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

b. Kẻ đường chéo MP và NQ

Trong ∆ MNP ta có:

X là trung điểm của MN

Y là trung điểm của NP

nên XY là đường trung bình của ∆ MNP

⇒ XY // MP và XY = \({1 \over 2}\)MP (tính chất đường trung bình của tam giác) (3)

Trong ∆ QMP ta có:

T là trung điểm của QM

Z là trung điểm của QP

nên TZ là đường trung bình của ∆ QMP

⇒ TZ // MP và TZ = \({1 \over 2}\)MP (tính chất đường trung bình của tam giác) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: XY // TZ và XY = TZ nên tứ giác XYZT là hình bình hành.

Trong ∆ MNQ ta có XT là đường trung bình

⇒ XT = \({1 \over 2}\)QN (tính chất đường trung bình của tam giác)

Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật ⇒ MP = NQ

Suy ra: XT = XY. Vậy tứ giác XYZT là hình thoi

\({S_{XYZT}} = {1 \over 2}XZ.TY\)

mà \(XZ = MQ = {1 \over 2}BD = {1 \over 2}.8 = 4\) (cm);

\(TY = MN = {1 \over 2}AC = {1 \over 2}.6 = 3\)  (cm)

Vậy : \({S_{XYZT}} = {1 \over 2}.3.4 = 6(c{m^2})\)