Câu 53 trang 166 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Qua tâm O của hình vuông ABCD cạnh a, kẻ đường thẳng \(l\) cắt cạnh AB và CD lần lượt tại M và N. Biết MN = b. Hãy tính tổng các khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông đến đường thẳng \(l\) theo a và b (a và b có cùng đơn vị đo)

Giải:                                                                     

Gọi h₁ và h₂  là khoảng cách từ đỉnh B và đỉnh A đến đường thẳng \(l\);

Tổng khoảng cách là S. Vì O là tâm đối xứng của hình vuông.

⇒ OM = ON (tính chất đối xứng tâm)

Suy ra: AM = CN

\(\widehat {AMP} = \widehat {DNS}\) (đồng vị)

\(\widehat {DNS} = \widehat {CNR}\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow \widehat {AMP} = \widehat {CNR}\)

Suy ra: ∆ APM = ∆ CRN (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ CR = AP = h₂

AM = CN (hai cạnh tương ứng)

⇒ BM = DN

\(\widehat {BMQ} = \widehat {DNS}\) (so le trong)

Suy ra: ∆ BQM = ∆ DSN (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ DS = BQ = h₁

\(\eqalign{  & {S_{BOA}} = {1 \over 4}{S_{ABCD}} = {1 \over 4}{a^2}(1)  \cr  & {S_{BOA}} = {S_{BOM}} + {S_{AOM}} = {1 \over 2}{b \over 2}.{h_1} + {1 \over 2}{b \over 2}.{h_2} = {b \over 4}\left( {{h_1} + {h_2}} \right)(2) \cr} \)

Từ (1) và (2): \({h_1} + {h_2} = \dfrac{{{a^2}}}{b}\)

\(S = 2\left( {{h_1} + {h_2}} \right) = \dfrac{{2{a^2}} }{ b}\)

Sachbaitap.com