Câu 56 trang 98 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Hai điểm M và K thứ tự nằm trên cạnh AB và BC của tam giác ABC; hai đoạn thẳng AK và CM cắt nhau tại điểm P. Biết rằng AP = 2 PK và CP = 2PM.

Chứng minh rằng AK và CM là các trung tuyến của tam giác ABC.

Giải:

Xét ∆ PAC và ∆ PKM, ta có:

\({{PK} \over {PA}} = {1 \over 2};{{PM} \over {PC}} = {1 \over 2}\)

Suy ra: \({{PK} \over {PA}} = {{PM} \over {PC}} = {1 \over 2}\)

Lại có: \(\widehat {APC} = \widehat {KPM}\)  (đối đỉnh)

Suy ra: ∆ PKM đồng dạng ∆ PAC (c.g.c) với tỉ số đồng dạng k = \({1 \over 2}\)

Suy ra: \({{KM} \over {AC}} = {1 \over 2}\)                          (1)

Vì ∆ PKM đồng dạng ∆ PAC nên:

\(\widehat {PKM} = \widehat {PAC}\)

Suy ra: KM // AC (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau)

Trong tam giác ABC, ta có: KM // AC

Suy ra: ∆ BMK đồng dạng ∆ BAC (g.g)

Suy ra: \({{BM} \over {BA}} = {{BK} \over {BC}} = {{MK} \over {AC}}\)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra : \({{BM} \over {BA}} = {{BK} \over {BC}} = {1 \over 2}\)

Vì BM = \({1 \over 2}\) BA nên M là trung điểm AB

Vì BK = \({1 \over 2}\) BC nên K là trung điểm của BC.

Vậy BK và CM là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Sachbaitap.com