Câu 81 trang 51 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2

Cho tam giác ABC. Qua mỗi đỉnh A, B, C kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng cắt nhau tạo thành tam giác DEF (hình dưới)

a) Chứng minh rằng A là trung điểm EF.

b) Các đường cao của tam giác ABC là các đường trung trực của tam giác nào?

Giải

a) Xét ∆ABC và ∆CEA có:

\(\widehat {ACB} = \widehat {CA{\rm{E}}}\) (so le trong, AE // BC)

AC cạnh chung 

\(\widehat {CAB} = \widehat {AC{\rm{E}}}\) (so le trong, CE // AB)

Do đó:  ∆ABC = ∆CEA (g.c.g)

\( \Rightarrow \) AE = BC        (1)

Xét ∆BAC và ∆ABF:

\(\widehat {ABC} = \widehat {{\rm{BAF}}}\) (so le trong, BF // AC)

AB cạnh chung

\(\widehat {BAC} = \widehat {ABF}\) (so le trong, BF // AC)

Do đó: ∆BAC = ∆ABF (g.c.g)

\( \Rightarrow \) AF = BC            (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AE = AF. Vậy A là trung điểm EF.

b) Kẻ \({\rm{A}}H \bot BC\)

           EF // BC    (gt)

\( \Rightarrow \) \(AH \bot EF\)

      AE = AF (chứng minh trên)

Vậy đường cao AH là đường trung trực của EF.

Chứng minh tương tự câu a, ta có B là trung điểm DF và DF // AC nên đường cao kẻ từ đỉnh B của  ∆ABC là đường trung trực của DF.

Ta có C là trung điểm DE và DE // AB nên đường cao kẻ từ đỉnh C của ∆ABC là đường trung trực của DE.

Sachbaitap.com