Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối xứng của A qua O.
a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành.
b) Chứng minh: \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} = 2\overrightarrow {HO} \);
\(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} \);
\(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} \).
c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Chứng minh \(\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \)
Từ đó có kết luận gì về ba điểm O, H, G?
Gợi ý làm bài
(Xem h.1.55)
a) Vì AD là đường kính của đường tròn tâm O nên \(BD \bot AB,DC \bot AC\)
Ta có \(CH \bot AB,BH \bot AC\) nên suy ra CH // BD và BH // DC.
Vậy tứ giác HCDB là hình bình hành.
b) Vì O là trung điểm của AD nên \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HD} = 2\overrightarrow {HO} (1)\)
Vì tứ giác HCDB là hình bình hành nên ta có \(\overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HD} \).
Vậy từ (1) suy ra:
\(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = 2\overrightarrow {HO} (2)\)
Theo quy tắc ba điểm, từ (2) suy ra
\(\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {HO} \)
Vậy \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} (3)\)
c) G là trọng tâm của tam giác ABC.
Ta có \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \)
Từ (3) suy ra \(\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \)
Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.
Trong một tam giác trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O thẳng hàng.
Sachbaitap.net
>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục