Bài 1.35 trang 34 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, H là trực tâm của tam giác, D là điểm đối xứng của A qua O.

a) Chứng minh tứ giác HCDB là hình bình hành.

b) Chứng minh: \(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HD}  = 2\overrightarrow {HO} \);

\(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = 2\overrightarrow {HO} \);

\(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OH} \).

c) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Chứng minh \(\overrightarrow {OH}  = 3\overrightarrow {OG} \)

Từ đó có kết luận gì về ba điểm O, H, G?

Gợi ý làm bài

(Xem h.1.55)

a) Vì AD là đường kính của đường tròn tâm O nên \(BD \bot AB,DC \bot AC\)

Ta có \(CH \bot AB,BH \bot AC\) nên suy ra CH // BD và BH // DC.

Vậy tứ giác HCDB là hình bình hành.

b) Vì O là trung điểm của AD nên \(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HD}  = 2\overrightarrow {HO} (1)\)

Vì tứ giác HCDB là hình bình hành nên ta có \(\overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = \overrightarrow {HD} \). 

Vậy từ (1) suy ra:

\(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = 2\overrightarrow {HO} (2)\)

Theo quy tắc ba điểm, từ (2) suy ra 

\(\overrightarrow {HO}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {HO}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {HO}  + \overrightarrow {OC}  = 2\overrightarrow {HO} \)

Vậy \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OH} (3)\)

c) G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow {OG} \)

Từ (3) suy ra \(\overrightarrow {OH}  = 3\overrightarrow {OG} \)

Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.

Trong một tam giác trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O thẳng hàng.

Sachbaitap.net