Bài 33 trang 79 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Giải và biện luận theo tham số m hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
2x(3m + 1)y = m - 1 \hfill \cr
(m + 2)x + (4m + 3)y = m \hfill \cr} \right.\)

Hướng dẫn: Giải và biện luận theo m có nghĩa là xét xem với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm, với giá trị nào của m thì hệ phương trình có 1 nghiệm, giá trị nghiệm là bao nhiêu, với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm.

Để Giải và biện luận hệ phương trình trên ta dùng phương pháp cộng đại số để khử một ẩn.

Gợi ý làm bài

Nhân phương trình thứ nhất của hệ với m + 2, nhân phương trình thứ hai với 2 ta được hệ phương trình

\(\left\{ \matrix{
2(m + 2)x + (3m + 1)(m + 2)y = (m - 1)(m + 2) \hfill \cr
2(m + 2)x + 2(4m + 3)y = 2m \hfill \cr} \right.\)

Trừ hai phương trình vế theo vế ta được phương trình:

\((3{m^2} - m - 4)y = (m + 1)(m - 2)\) (1)

+Với m = -1 phương trình (1) có dạng:

0y = 0

Phương trình này nhận mọi giá trị thức của y làm nghiệm. Lúc đó thay m = -1 vào hệ phương trình đã cho, hai phương trình trở thành một phương trình.

\(x - y =  - 1 =  > y = x + 1\), x  tùy ý.

+Với \(m = {4 \over 3}\) phương trình (1) có dạng.

\(0y =  - {{14} \over 9}\)

Phương trình này vô nghiệm, do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

+Với \(m \ne  - 1\) và \(m \ne {4 \over 3}\), phương trình (1) có nghiệm duy nhất 

\(y = {{m - 2} \over {3m - 4}}\)

Thay vào một trong hai phương trình của hệ đã cho ta suy ra 

\(x = {{ - m + 3} \over {3m - 4}}\)

Kết luận

\(m = {4 \over 3}\): Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

\(m =  - 1\): Hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm 

\(x = a,y = a + 1\), a là số thực tùy ý.

\(m \ne  - 1\), \(m \ne {4 \over 3}\): Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất :

\(m \ne  - 1\) và \((x;y) = ({{3 - m} \over {3m - 4}};{{m - 2} \over {3m - 4}})\)