Câu 104 trang 152 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1

Cho tam giác ADE cân tại A. Trên cạnh DE lấy các điểm B và C sao cho \({\rm{D}}B = EC =<{1 \over 2}DE\)

a) Tam giác ABC là tam giác gì? Chứng minh điều đó?

b) Kẻ \(BM \bot A{\rm{D}}\) kẻ \(C{\rm{N}} \bot {\rm{AE}}\). Chứng minh rằng BM = CN.

c) Gọi I là giao điểm MB và NC. Tam giác IBC là tam giác gì? Chứng minh điều đó.

d) Chứng minh rằng AI là tia phân giác của góc BAC.

Giải

Xét ∆ADE cân tại A nên \(\widehat D = \widehat E\)

Xét ∆ABD và ∆ACE, ta có:

                     AD = AE (gt)

                     \(\widehat D = \widehat E\) (chứng minh trên)

                      DB = EC (gt)

Suy ra: ∆ABD = ∆ACE (c.g.c)

Suy ra: AB = AC (hai cạnh tương ứng)

Vậy ∆ABC cân tại A.

b) Xét hai tam giác vuông BMD và CNE, ta có:

                   \(\widehat {BM{\rm{D}}} = \widehat {CNE} = 90^\circ \)

                   BD = CE (gt)

                   \(\widehat D = \widehat E\) (chứng minh trên)

Suy ra: ∆BMD = ∆CNE (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra: BM = CN (hai cạnh tương ứng)

c) Ta có: ∆BMD =  ∆CNE (chứng minh trên)

Suy ra: \(\widehat {DBM} = \widehat {ECN}\) (hai góc tương ứng)

             \(\widehat {DBM} = \widehat {IBC}\) (đối đỉnh)

             \(\widehat {ECN} = \widehat {ICB}\) (đối đỉnh)

Suy ra: \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\) hay ∆IBC cân tại I.

d) Xét ∆ABI và ∆ACI, ta có:

                  AB = AC (chứng minh trên)

                   IB = IC (vì  ∆IBC cân tại I)

                   AI cạnh chung

Suy ra: ∆ABI = ∆ACI (c.c.c) \( \Rightarrow \widehat {BAI} = \widehat {CAI}\) (hai góc tương ứng)

Vậy AI là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\)

Sachbaitap.com