Câu 132 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật là đỉnh của một hình thoi.

Giải:                                                              

Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA của hình chữ nhật ABCD.

Kẻ đường chéo AC.

- Trong ∆ ABC ta có:

E là trung điểm của AB

F là trung điểm của BC

nên EF là đường trung bình của ∆ ABC

⇒ EF // AC và EF = \({1 \over 2}\)AC (tính chất đường trung bình tam giác) (1)

- Trong ∆ ADC ta có:

H là trung điểm AD

G là trung điểm DC

nên HG là đường trung bình của ∆ ADC.

⇒ HG // AC và HG = \({1 \over 2}\)AC (tính chất đường trung bình của tam giác)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

- Xét ∆ AEH và ∆ DGH:

AH = DH (gt)

\(\widehat {EAH} = \widehat {GDH} = {90^0}\)

AE = DG (vì AB = CD)

Do đó: ∆ AEH = ∆ DGH (c.g.c) ⇒ HE = HG (hai cạnh tương ứng)

Vậy hình bình hành EFGH là hình thoi (vì có hai cạnh kề bằng nhau)

Sachbaitap.com