Câu 133 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng trung điểm các cạnh của một hình thoi là đỉnh của một hình chữ nhật.

Giải:                                                           

Giả sử hình thoi ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

- Trong ∆ ABC ta có:

E là trung điểm của AB

F là trung điểm của BC

nên EF là đường trung bình của tam giác ABC.

⇒ EF // AC và EF = \({1 \over 2}\)AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

- Trong ∆ ADC ta có:

H là trung điểm của AD

G là trung điểm của CD

nên HG là đường trung bình của ∆ ADC

⇒ HG // AC và HG = \({1 \over 2}\)AC ( tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Mặt khác: AC ⊥ BD (tính chất hình thoi)

EF // AC (chứng minh trên)

Suy ra: EF ⊥ BD

Trong ∆ ABD ta có EH là đường trung bình

⇒ EH // BD (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra: EH ⊥ EF hay  = 1v

Vậy hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.

Sachbaitap.com