Câu 2.3 trang 86 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi M, K, N, H lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ O xuống các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng:

a. \({{OM} \over {ON}} = {{AB} \over {CD}}\)

b. \({{OH} \over {OK}} = {{BC} \over {AD}}\)

Giải:

a. Vì OM ⊥ AB và ON ⊥ CD, mà AB // CD nên suy ra M, O, N thẳng hàng.

Mặt khác, do AB // CD nên theo hệ quả của Định lí Ta-lét ta có:

\({{OM} \over {ON}} = {{MA} \over {NC}}\)  hay \({{OM} \over {ON}} = {{MB} \over {ND}}\)

Từ đó, theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\({{OM} \over {ON}} = {{MA} \over {NC}} = {{MB} \over {ND}} = {{MA + MB} \over {NC + ND}} = {{AB} \over {CD}}\)

b. Từ O kẻ đường thẳng song song với AB và CD cắt AD tại E, cắt BC tại F.

Áp dụng kết quả chứng minh ở bài 14 ta có:

OE = OF

Từ đó, ta có:

\({S_{AEO}} = {S_{BFO}}\) (1) (hai tam giác có cùng đường cao và hai đáy bằng nhau);

\({S_{DEO}} = {S_{CFO}}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra :

\({S_{OAD}} = {S_{OBC}}\)  (3)

Suy ra: \(OH.AD = OK.BC \Leftrightarrow {{OH} \over {OK}} = {{BC} \over {AD}}\)

Sachbaitap.com