Câu 32 trang 42 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2

Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

Giải

Giả sử ∆ABC có hai đường trung tuyến BD, CE và BD = CE. Gọi G là giao điểm BD và CE.

\(BG = {2 \over 3}B{\rm{D}}\) (tính chất đường trung tuyến)

\(CG = {2 \over 3}CE\) (tính chất đường trung tuyến)

Mà BD = CE

Suy ra: BG = CG

\( \Rightarrow \) BG + GD = CG + GE

\( \Rightarrow \)  GD = GE

Xét ∆BGE và ∆CGD:

             BG = CG (chứng minh trên)

             \(\widehat {BGE} = \widehat {CG{\rm{D}}}\) (đối đỉnh)

             GE = GD (chứng minh trên)

Do đó: ∆BGE = ∆CGD (c.g.c)

\( \Rightarrow \) BE = CD          (1)

\(BE = {1 \over 2}AB\) (Vì E là trung điểm AB)        (2)

\(C{\rm{D = }}{1 \over 2}AC\) (Vì D là trung điểm AC)       (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AB = AD.Vậy ∆ABC cân tại A.

Sachbaitap.com