Câu 37 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua trung điểm của đường trung bình của hình thang và cắt hai đáy hình thang sẽ chia hình thang đó thành hai hình thang có diện tích bằng nhau.

Giải:                                                                     

Giả sử hình thang ABCD có AB // CD, đường trung bình là MN. Gọi I là trung điểm của MN, đường thẳng bất kỳ đi qua I cắt AB tại P và CD tại Q

Ta có hai hình thang APQD và BPQC có chung đường cao.

MI là đường trung bình của hình thang APQD

\( \Rightarrow MI = {1 \over 2}\left( {AP + QD} \right)$ $IN = {1 \over 2}\left( {BP + QC} \right)\)

IN là đường trung bình của hình thang BPQC :

\( \Rightarrow IN = {1 \over 2}\left( {BP + QC} \right)\)

\(\eqalign{  & {S_{APQD}} = {1 \over 2}\left( {AP + QD} \right).AH = MI.AH(1)  \cr  & {S_{BPQC}} = {1 \over 2}\left( {BP + QC} \right).AH = IN.AH(2) \cr} \)

IM = IN (gt)

Từ (1), (2) và (gt) suy ra : \({S_{APQD}} = {S_{BPQC}}\) không phụ thuộc vào P và Q