Câu 57 trang 38 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Tìm giá trị nguyên của biến x để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên :

a. \({2 \over {x - 3}}\)

b. \({3 \over {x + 2}}\)

c. \({{3{x^3} - 4{x^2} + x - 1} \over {x - 4}}\)

d. \({{3{x^2} - x + 1} \over {3x + 2}}\)

Giải:

a. \({2 \over {x - 3}}\) là một số nguyên nên \(2 \vdots \left( {x - 3} \right)\) và \(x \ne 3\)

⇒ x – 3 ∈ Ư(2) = { - 2; -1 ; 1; 2 }

   \(\eqalign{& x - 3 =  - 2 \Rightarrow x = 1  \cr & x - 3 =  - 1 \Rightarrow x = 2  \cr  & x - 3 = 1 \Rightarrow x = 4  \cr  & x - 3 = 2 \Rightarrow x = 5 \cr} \)

Vậy với x ∈ { 1; 2; 4; 5 } thì \({2 \over {x - 3}}\)là một số nguyên

b. \({3 \over {x + 2}}\) là một số nguyên nên 3 ⋮ (x + 2) và x ≠ - 2

⇒ x + 2 ∈ Ư(3) = { -3; -1; 1; 3 }

    \(\eqalign{  & x + 2 =  - 3 \Rightarrow x =  - 5  \cr  & x + 2 =  - 1 \Rightarrow x =  - 3  \cr  & x + 2 = 1 \Rightarrow x =  - 1  \cr  & x + 2 = 3 \Rightarrow x = 1 \cr} \)

Vậy với x ∈ { -5; -3; -1; 1 } thì \({3 \over {x + 2}}\) là một số nguyên

c.  \({{3{x^3} - 4{x^2} + x - 1} \over {x - 4}}\)\( = {{\left( {3{x^2} + 8x + 33} \right)\left( {x - 4} \right) + 131} \over {x - 4}} = 3{x^2} + 8x + 33 + {{131} \over {x - 4}}\)

Với x là số nguyên ta có : \(3{x^2} + 8x + 33\) là số nguyên

Vậy muốn biểu thức là số nguyên thì 131 ⋮ (x – 4 ) và x ≠ 4

⇒ x – 4 ∈ Ư(131) = {-131; -1; 1; 131}

   \(\eqalign{ & x - 4 =  - 131 \Rightarrow x =  - 127  \cr  & x - 4 =  - 1 \Rightarrow x = 3  \cr  & x - 4 = 1 \Rightarrow x = 5  \cr  & x - 4 = 131 \Rightarrow x = 135 \cr} \)

Vậy x ∈ {-127; 3; 5; 135} thì ${{3{x^3} - 4{x^2} + x - 1} \over {x - 4}}$ là số nguyên

d.  \({{3{x^2} - x + 1} \over {3x + 2}}\)\( = {{\left( {3x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) + 3} \over {3x + 2}} = x - 1 + {3 \over {3x + 2}}\) (với \(x \ne  - {3 \over 2}\) )

x là số nguyên ta có x – 1 là số nguyên.

Vậy muốn biểu thức đã cho là số nguyên thì 3 ⋮ (3x + 2) và \(x \ne  - {3 \over 2}\)

3x + 2 ∈ Ư(3) = {-3; -1; 1; 3 }

\(3x + 2 =  - 3 \Rightarrow x =  - {5 \over 3} \notin \) (loại)

\(3x + 2 =  - 1 \Rightarrow x =  - 1\)

\(3x + 2 = 1 \Rightarrow x =  - {1 \over 3} \notin \) (loại)

\(3x + 2 = 3 \Rightarrow x = {1 \over 3} \notin \) (loại)

x = - 1 khác \( - {3 \over 2}\)

Vậy với x = - 1 thì biểu thức \({{3{x^2} - x + 1} \over {3x + 2}}\) có giá trị nguyên.