Bài 1.65 trang 47 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Gợi ý làm bài

Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm các tam giác MPR và NQS. Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GR} \cr
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} + \overrightarrow {GE} + \overrightarrow {GF} ) \cr
& = \overrightarrow 0 \cr} \)

\(\eqalign{
& \overrightarrow {G'N} + \overrightarrow {G'Q} + \overrightarrow {G'S} \cr
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {G'B} + \overrightarrow {G'C} + \overrightarrow {G'D} + \overrightarrow {G'E} + \overrightarrow {G'F} + \overrightarrow {G'A} ) \cr
& = \overrightarrow 0 \cr} \)

Do đó:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} + \overrightarrow {GE} + \overrightarrow {GF} \cr
& = \overrightarrow {G'B} + \overrightarrow {G'C} + \overrightarrow {G'D} + \overrightarrow {G'E} + \overrightarrow {G'F} + \overrightarrow {G'A} \cr} \)

\( =  > 6\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow 0  =  > G \equiv G'\)

Sachbaitap.net