Bài 5 trang 30 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng tương ứng

a) \(y =  - 2x + 3\) trên R

b) \(y = {x^2} + 10x + 9\) trên \(( - 5; + \infty )\)

c) \(y =  - {1 \over {x + 1}}\) trên (-3; -2) và (2; 3).

Gợi ý làm bài

a) \(\forall {x_1},{x_2} \in R\) ta có:

\(f({x_1}) - f({x_2}) =  - 2{x_1} + 3 - ( - 2{x_2} + 3) =  - 2({x_1} - {x_2})\)

Ta thấy \({x_1} > {x_2}\) thì \(2({x_1} - {x_2}) < 0\) tức là:

\(f({x_1}) - f({x_2}) < 0 \Leftrightarrow f({x_1}) < f({x_2})\)

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên R.

b) \(\forall {x_1},{x_2} \in R\), ta có

\(f({x_1}) - f({x_2}) = x_1^2 + 10{x_1} + 9 - x_2^2 - 10{x_2} - 9\)

= \(({x_1} - {x_2})({x_1} + {x_2}) + 10({x_1} - {x_2})\)

= \(({x_1} - {x_2})({x_1} + {x_2} + 10)\) (*)

\(\forall {x_1},{x_2} \in ( - 5; + \infty )\) và \({x_1} < {x_2}\) ta có \({x_1} - {x_2} < 0\) và \({x_1} + {x_2} + 10 > 0\) vì 

\({x_1} >  - 5;{x_2} >  - 5 =  > {x_1} + {x_2} >  - 10\)

Vậy từ (*) suy ra \(f({x_1}) - f({x_2}) < 0 \Leftrightarrow f({x_1}) < f({x_2})\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(( - 5; + \infty )\)

c) \(\forall {x_1},{x_2} \in ( - 3; - 2)\) và \({x_1} < {x_2}\), ta có

\({x_1} - {x_2} < 0;{x_1} + 1 <  - 2 + 1 < 0;{x_2} + 1 <  - 2 + 1 < 0 =  > ({x_1} + 1)({x_2} + 1) > 0\). Vậy

\(f({x_1}) - f({x_2}) =  - {1 \over {{x_1} + 1}} + {1 \over {{x_2} + 1}} = {{{x_1} - {x_2}} \over {({x_1} + 1)({x_2} + 1)}} < 0 \Leftrightarrow f({x_1}) < f({x_2})\)

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (-3; -2) 

\(\forall {x_1},{x_2} \in ( - 3; - 2)\) và \({x_1} < {x_2}\) , tương tự ta cũng có \(f({x_1}) < f({x_2})\)

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (2;3).

Sachbaitap.net