Câu 77 trang 148 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 1

Cho tam giác đều ABC. Lấy các điểm D, E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CA  sao cho AD = BE = CF. Chứng minh rằng ∆DEF là tam giác đều.

Giải

Ta có:       AB = AD +  DB                   (1)

                  BC = BE + EC                    (2)

                  AC = AF + FC                     (3)

                  AB = AC  = BC (gt)             (4)

                  AD = BE = CF (gt)              (5)

Từ (1), (2), (3), (4) và (5) suy ra:

                 BD = EC = AF

Xét ∆ADF và ∆BED, ta có:

         +)  AD = BE (gt)

         +)   \(\widehat A = \widehat B = 60^\circ \) (vì ∆ABC đều)

         +)    AF = BD (chứng minh trên)

Suy ra: ∆ADF =  ∆BED   (c.g.c)                   

Suy ra: DF = DE (hai cạnh tương ứng)           (6)

Xét ∆ADF và ∆CFE ta có:

           +)   AD = CF (gt)

           +)  \(\widehat A = \widehat C = 60^\circ \) (vì ∆ABC đều)

           +)  EC = AF (chứng minh trên)        

Suy ra : ∆ADF = ∆CFE (c.g.c)

Suy ra: DF = FE (hai cạnh tương ứng)          (7)

Từ (6) và (7) suy ra: DF = ED = FE

Vậy ∆DEF đều.

Sachbaitap.com