Cho phương trình bậc hai
\(a{x^2} - 2(a + 1)x + {(a + 1)^2}a = 0\) (E)
Kí hiệu S là tổng, P là tích các nghiệm (nếu có) của phương trình trên.
a) Với giá trị nào của a, phương trình (E) có nghiệm?
b) Biện luận dấu của S và P. Từ đó suy ra dấu các nghiệm của (E).
c)Tìm hệ thức giữa S và P độc lập đối với a.
d) Với những giá trị nào của a, các nghiệm \({x_1},{x_2}\) của (E) thỏa mãn hệ thức \({x_1} = 3{x_2}\)? Tìm các nghiệm \({x_1},{x_2}\) trong mỗi trường hợp đó.
Gợi ý làm bài
a) Phải có:
\(\Delta = {(a + 1)^2} - {(a + 1)^2}{a^2} = {(a + 1)^2}(1 - {a^2}) \ge 0\)
\( \Leftrightarrow - 1 \le a \le 1,a \ne 0\)
b) Ta có:
\(P = {(a + 1)^2}\)
\(P = 0 \Leftrightarrow a = - 1\), khi đó \({x_1} = {x_2} = 0\)
\(P > 0,\forall a \ne - 1\) khi đó \({x_1},{x_2}\) cùng dấu.
Mặt khác \(S = {{2(a + 1)} \over a}\)
Suy ra:
Với \(0 < a \le 1\) thì hai nghiệm của phương trình (E) đều dương;
Với \( - 1 \le a < 0\) thì hai nghiệm của phương trình (E) đều âm;
c) Từ \(S = {{2(a + 1)} \over a}\) suy ra \(a = {2 \over {S - 2}}\)
Do đó: \(P = {\left( {{2 \over {S - 2}} + 1} \right)^2} = {{{S^2}} \over {{{(S - 2)}^2}}} \Leftrightarrow {(S - 2)^2}P - {S^2} = 0\)
d) \(\left\{ \matrix{
{x_1} + {x_2} = {{2(a + 1)} \over a} \hfill \cr
{x_1} = 3{x_2} \hfill \cr} \right. = > 4{x_2} = {{2(a + 1)} \over a}\)
\(\left\{ \matrix{
{x_1}{x_2} = {(a + 1)^2} \hfill \cr
{x_1} = 3{x_2} \hfill \cr} \right. = > 3x_2^2 = {(a + 1)^2}.\)
Suy ra:
\({(a + 1)^2}(4{a^2} - 3) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = - 1 \hfill \cr
a = {{\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr
a = - {{\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Với a = - 1 ta có: \({x_1} = {x_2} = 0\)
Với \(a = {{\sqrt 3 } \over 2}\) ta có: \({x_2} = {{3 + 2\sqrt 3 } \over 6};{x_1} = {{3 + 2\sqrt 3 } \over 2}\)
Với \(a = - {{\sqrt 3 } \over 2}\) ta có: \({x_2} = {{3 - 2\sqrt 3 } \over 6};{x_1} = {{3 - 2\sqrt 3 } \over 2}\)
Sachbaitap.net
>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục