Bài 1.64 trang 46 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng:

\(\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = {2 \over 3}\overrightarrow {MO} \)

Gợi ý làm bài

(Xem hình 1.73)

Qua M kẻ các đường thẳng sau: \({K_1}{K_4}\)//AB, \({K_2}{K_5}\)//AC, \({K_3}{K_6}\)//BC

\({K_1},{K_2} \in BC;{K_3},{K_4} \in AC;{K_5},{K_6} \in AB\). Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} \cr
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {M{K_1}} + \overrightarrow {M{K_2}} + \overrightarrow {M{K_3}} + \overrightarrow {M{K_4}} + \overrightarrow {M{K_5}} + \overrightarrow {M{K_6}} ) \cr} \)

\( = {1 \over 2}(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} )\)

(Vì \(M{K_5}A{K_4},M{K_3}C{K_2},M{K_1}B{K_6}\) là các hình bình hành). Vậy

\(\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = {1 \over 2}.3\overrightarrow {MO}  = {3 \over 2}\overrightarrow {MO} \)

Sachbaitap.net