Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn:
(C1) : \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 4\)
và (C2) : \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 16\)
a) Chứng minh rằng hai đường tròn (C1) , (C2) cắt nhau ;
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
Gợi ý làm bài
(Xem hình 3.40)
a) (C1) có tâm I(2 ; 2) và bán kính \({R_1} = 2\)
(C2) có tâm J(5 ; 3) và bán kính \({R_2} = 4\)
Ta có:
\(IJ = \sqrt {{{\left( {5 - 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {10} .\)
Do: \({R_2} - {R_1} < IJ < {R_2} + {R_1}\)
Nên (C1) và (C2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
b) Gọi \(\Delta \) và \(\Delta' \) là hai tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) . \(\Delta \) tiếp xúc với (C1) và (C2) lần lượt tại A, B. \(\Delta' \) tiếp xúc với (C1) và (C2) lần lượt tại A', B'.
Ta có:
\(\left\{ \matrix{
d(I,\Delta ) = d(I,{\Delta'}) = {R_1} = 2 \hfill \cr
d(J,\Delta ) = d(J,{\Delta'}) = {R_2} = 4 \hfill \cr} \right. \Rightarrow IJ,\Delta \) và \(\Delta' \) đồng quy tại M.
\(\eqalign{
& {{JM} \over {IM}} = {{JB} \over {IA}} = {{{R_2}} \over {{R_1}}} = 2 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {JM} = 2\overrightarrow {JI} \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
{x_M} - 5 = 2.\left( {2 - 5} \right) \hfill \cr
{y_M} - 3 = 2.(2 - 3 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
{x_M} = - 1 \hfill \cr
{y_M} = 1. \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy ta được M(-1 ; 1).
Sachbaitap.net
>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục