Cho tam giác ABC \(\widehat {BAC} = {60^ \circ }\), AB = 4 và AC = 6.
a) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \), độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;
b) Lấy các điểm M, N định bởi: \(2\overrightarrow {AM} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {NB} + x\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 (x \ne - 1)\). Định x để AN vuông góc với BM.
Gợi ý làm bài
a)
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos A \cr
& = 4.6.\left( {{1 \over 2}} \right) = 12 \cr} \)
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ) \cr
& = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - A{B^2} = 12 - 16 = - 4 \cr
& B{C^2} = {(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} )^2} \cr
& = A{C^2} - 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + A{B^2} \cr
& = 36 - 2.12 + 16 = 28 \cr
& \Rightarrow BC = 2\sqrt {7.} \cr} \)
\(R = {{BC} \over {2\sin A}} = {{2\sqrt 7 } \over {2.{{\sqrt 3 } \over 2}}} = {{2\sqrt {21} } \over 3}.\)
b)
\(\eqalign{
& 2\overrightarrow {AM} + 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \cr
& \Leftrightarrow 2\overrightarrow {AM} + 3(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AM} ) = \overrightarrow 0 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {AC} \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = 3\overrightarrow {AC} \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {BM} = 3\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \cr} \)
và \(\eqalign{
& \overrightarrow {NB} + x\overrightarrow {NC} = \overrightarrow 0 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AN} + x(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AN} ) = \overrightarrow 0 \cr} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AN} = {1 \over {x + 1}}(\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} ).\)
AN vuông góc với BM: \(\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM} = 0\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} } \right)(3\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} ) = 0 \cr
& \Leftrightarrow (3 - x)\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - A{B^2} + 3xA{C^2} = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {3 - x} \right).12 - 16 + 3x.36 = 0 \cr
& \Leftrightarrow 96x + 20 = 0 \cr
& \Leftrightarrow x = - {5 \over {24}} \cr} \)
Sachbaitap.net
>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục