Bài 3.27 trang 152 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho hai đường tròn (C1) : \({x^2} + {y^2} - 6x + 5 = 0\)

và     (C2) : \({x^2} + {y^2} - 12x - 6y + 44 = 0\)

a) Tìm câm và bán kính của (C 1)  và (C 2)  .

b) Lập phương trình tiếp tuyến chung của (C 1)  và (C 2). 

Gợi ý làm bài

a) (C 1) có tâm có bán kính \({R_1} = 2\);

    (C 2) có tâm có bán kính \({R_2} = 1\).

b) Xét đường thẳng \(\Delta \) có phương trình:

\(y = kx + m\) hay \(kx - y + m = 0\). Ta có:

\(\Delta\) tiếp xúc vơi (C 1)  và (C 2) khi và chỉ khi

\(\left\{ \matrix{
d({I_1},\Delta ) = {R_1} \hfill \cr
d({I_2},\Delta ) = {R_2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{{\left| {3k + m} \right|} \over {\sqrt {{k^2} + 1} }} = 2(1) \hfill \cr
{{\left| {6k - 3 + m} \right|} \over {\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1.(2) \hfill \cr} \right.\)

Từ (1) và (2) suy ra

\(\left| {3k + m} \right| = 2\left| {6k - 3 + m} \right|\)

Trường hợp 1: \(3k + m = 2(6k - 3 + m) \Leftrightarrow m = 6 - 9k\) (3)

Thay vào (2) ta được

\(\left| {6k - 3 + 6 - 9k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1}  \Leftrightarrow \left| {3 - 3k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)

\( \Leftrightarrow 9 - 18k + 9{k^2} = {k^2} + 1\)

\( \Leftrightarrow 8{k^2} - 18k + 8 = 0\)

\(\Leftrightarrow 4{k^2} - 9k + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{k_1} = {{9 + \sqrt {17} } \over 8} \hfill \cr
{k_2} = {{9 - \sqrt {17} } \over 8} \hfill \cr} \right.\)

Thay giá trị của k vào (3) ta tính được

\(\left[ \matrix{
{k_1} = 6 - 9{k_1} \hfill \cr
{k_2} = 6 - 9{k_2} \hfill \cr} \right.\)

Vậy ta được hai tiếp tuyến

\({\Delta _1}:y = {k_1}x + 6 - 9{k_1};\)

\({\Delta _2}:y = {k_2}x + 6 - 9{k_2}.\)

Trường hợp 2: 

\(\eqalign{
& 3k + m = - 2(6k - 3 + m) \cr
& \Leftrightarrow 3m = 6 - 15k \cr} \)

\( \Leftrightarrow m = 2 - 5k\) (4)

Thay vào (2) ta được

\(\left| {6k - 3 + 2 - 5k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1}  \Leftrightarrow \left| {k - 1} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)

\( \Leftrightarrow {(k - 1)^2} = {k^2} + 1\)

\(\Leftrightarrow {k^2} - 2k + 1 = {k^2} + 1\)

\( \Leftrightarrow k = 0.\)

Thay giá trị của k vào (4) ta được m = 2.

Vậy ta được tiếp tuyến

\({\Delta _3}:y = 2.\)

Xét đường thẳng \({\Delta _4}\) vuông góc với Ox tại \({x_0}\):

\({\Delta _4}:x - {x_0} = 0.\)

\({\Delta _4}\) tiếp xúc vơi (C 1)  và (C 2) khi và chỉ khi

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
d({I_1},{\Delta _4}) = {R_1} \hfill \cr
d({I_2},{\Delta _4}) = {R_2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left| {3 - {x_0}} \right| = 2 \hfill \cr
\left| {6 - {x_0}} \right| = 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_0} = 1 \vee {x_0} = 5 \hfill \cr
{x_0} = 5 \vee {x_0} = 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {x_0} = 5. \cr} \)

Vậy ta được tiếp tuyến: \({\Delta _4}:x - 5 = 0\)

Tóm lại hai đường tròn (C 1)  và (C 2) có bốn tiếp tuyến chung \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\), \({\Delta _3}\) và \({\Delta _4}\)

Sachbaitap.net