Bài 3.40 trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng $\Delta :x - y + 2 = 0$ và điểm A(2;0).

a) Chứng mình rằng hai điểm A và O nằm về cùng một phía đối với đường thẳng .

b) Tìm điểm M trên $\Delta$ sao cho độ dài đường gấp khúc OMA ngắn nhất.

Gợi ý làm bài

(h.3.11) 

Ta có:

$\Delta \left( O \right) = 2 > 0$

$\Delta \left( A \right) = 2 + 2 > 0$

Vậy A và O nằm về cùng một phía đối với $\Delta$ 

b) Gọi O' là điểm đối xứng của O qua $\Delta$, ta có:

$OM + MA = O'M + MA \ge O'A$

Ta có : OM + MA ngắn nhất

$\Leftrightarrow O',M,A$ thẳng hàng 

Xét đường thẳng d đi qua O và vuông góc với  $\Delta$ . Phương trình của d là: 

x + y = 0

d cắt $\Delta$ tại H(-1;1).

H là trung điểm của OO' suy ra $O'\left( { - 2;2} \right)$

Phương trình đường thẳng O'A là: x + 2y - 2 = 0

Giải hệ phương trình 

$\left\{ \matrix{ x + 2y = 2 \hfill \cr x - y = - 2 \hfill \cr} \right.$

ta được $M = \left( { - {2 \over 3};{4 \over 3}} \right).$

Sachbaitap.net