Bài 3.68 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm C(2;0) và elip (E): \({{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\). Tìm tọa độ các điểm A, B thuộc (E), biết rằng hai điểm A, B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều.

Gợi ý làm bài

Giả sử \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\). Do A, B đối xứng nhau qua Ox nên \(B({x_0}; - {y_0})\)

Ta có : \(A{B^2} = 4y_0^2\) và \(A{C^2} = {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2.\)

Vì \(A \in (E)\) nên \({{x_0^2} \over 4} + y_0^2 = 1 \Rightarrow y_0^2 = 1 - {{x_0^2} \over 4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

Vì AB = AC nên \({\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2 = 4y_0^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\)

Thay (1) vào (2) và rút gọn ta được 

\(7x_0^2 - 16{x_0} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x_0} = 2 \hfill \cr
{x_0} = {2 \over 7}. \hfill \cr} \right.\)

Với \({x_0} = 2\) thay vào (1) ta có \({y_0} = 0.\) Trường hợp này loại vì \(A \equiv C.\)

Với \({x_0} = {2 \over 7}\) thay vào (1) ta có \({y_0} =  \pm {{4\sqrt 3 } \over 7}.\)

Vậy \(A\left( {{2 \over 7};{{4\sqrt 3 } \over 7}} \right),B\left( {{2 \over 7}; - {{4\sqrt 3 } \over 7}} \right)\) hoặc \(A\left( {{2 \over 7}; - {{4\sqrt 3 } \over 7}} \right),B\left( {{2 \over 7};{{4\sqrt 3 } \over 7}} \right)\)

Sachbaitap.net