Bài 4 trang 197 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho hai điểm A(3 ; -1), B(-1 ; -2) và đường thẳng d có phương trình x + 2y + 1 = 0

a) Tìm tọa độ điểm C trên đường thẳng d sao cho tam giác ABC là tam giác cân tại C.

b) Tìm tọa độ điểm M trên đường thẳng d sao cho tam giác AMB vuông tại M.

Gợi ý làm bài

a) Đặt C(x ; y), ta có : \(C \in d \Leftrightarrow x =  - 2y - 1\). Vậy C( - 2y - 1;y).

Tam giác ABC cân tại C khi và chỉ khi

CA = CB \( \Leftrightarrow C{A^2} = C{B^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {3 + 2y + 1} \right)^2} + {\left( { - 1 - y} \right)^2} = {\left( { - 1 + 2y + 1} \right)^2} + {\left( { - 2 - y} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {4 + 2y} \right)^2} + {\left( {1 + y} \right)^2} = 4{y^2} + {\left( {2 + y} \right)^2}\)

Giải ra ta được \(y =  - {{13} \over {14}}.\)

\(x =  - 2\left( {{{ - 13} \over {14}}} \right) - 1 = {{13} \over 7} - 1 = {6 \over 7}.\)

Vậy C có tọa độ là \(\left( {{6 \over 7}; - {{13} \over {14}}} \right)\)

b) Xét điểm M( - 2t - 1;t) trên d, ta có :

\(\widehat {AMB} = {90^ \circ } \Leftrightarrow A{M^2} + B{M^2} = A{B^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {4 + 2t} \right)^2} + {\left( {1 + t} \right)^2} + 4{t^2} + {\left( {2 + t} \right)^2} = 17\)

\( \Leftrightarrow 10{t^2} + 22t + 4 = 0 \Leftrightarrow 5{t^2} + 11t + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = - {1 \over 5} \hfill \cr
t = - 2. \hfill \cr} \right.\)

Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là \({M_1}\left( { - {3 \over 5}; - {1 \over 5}} \right)\) và \({M_2}\left( {3; - 2} \right)\)

Sachbaitap.net