Cho đường tròn (C) tâm I(1 ; -2), bán kính R và điểm K(1 ; 3).
a) Cho R = 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua K;
b) Xác định R để từ K vẽ được đến (C) hai tiếp tuyến tiếp xúc với (C) lần lượt tại hai điểm \({M_1},{M_2}\) sao cho diện tích tứ giác \(K{M_1}I{M_2}\) bằng \(2\sqrt 6 \).
Gợi ý làm bài
(Xem hình 3.31)
a) R = 1. Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm K(1 ; 3) và có hệ số góc m. \(\Delta \) có phương trình y = m(x - 1) + 3
\( \Leftrightarrow mx - y + (3 - m) = 0.\)
Ta có \(\Delta \) tiếp xúc vơi (C) \( \Leftrightarrow d(I,\Delta ) = R\)
\( \Leftrightarrow {{\left| {m + 2 + 3 - m} \right|} \over {\sqrt {{m^2} + 1} }} = 1 \Leftrightarrow {5 \over {\sqrt {{m^2} + 1} }} = 1\)
\( \Leftrightarrow {m^2} + 1 = 25\)
\( \Leftrightarrow m = \pm 2\sqrt 6 \)
Vậy qua điểm K có hai tiếp tuyến với (C). Đó là :
\({\Delta _1}:y = 2\sqrt 6 \left( {x - 1} \right) + 3\) và \({\Delta _2}:y = - 2\sqrt 6 \left( {x - 1} \right) + 3.\)
b) Ta có: \(KI = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 + 2} \right)}^2}} = 5\)
\(K{M_2} = \sqrt {K{I^2} - {R^2}} = \sqrt {25 - {R^2}} .\)
Ta có : \({S_{K{M_1}I{M_2}}} = 2\sqrt 6 \)
\( \Leftrightarrow 2{S_{I{M_2}K}} = 2\sqrt 6 \)
\( \Leftrightarrow I{M_2}.K{M_2} = 2\sqrt 6 \)
\( \Leftrightarrow R\sqrt {25 - {R^2}} = 2\sqrt 6 \)
\( \Leftrightarrow {R^2}\left( {25 - {R^2}} \right) = 24\)
\(\Leftrightarrow {R^4} - 25{R^2} + 24 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{R^2} = 1 \hfill \cr
{R^2} = 24 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
R = 1 \hfill \cr
R = 2\sqrt 6 \hfill \cr} \right.\)
Vậy bán kính đường tròn bằng 1 hoặc \(2\sqrt 6 .\)
Sachbaitap.net
>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục