Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): \({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\). Gọi hai tiêu điểm của (E) lần lượt là \({F_1},{F_2}\) và M thuộc (E) sao cho \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {60^ \circ }\) . Tìm tọa độ điểm M và tính diện tích tam giác \(M{F_1}{F_2}\)
Gợi ý làm bài
(Xem hình 3.33)
Elip (E) có phương trình chính tắc: \({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1.\)
Ta có : a = 5, b = 3. Suy ra \({c^2} = {a^2} - {b^2} = 25 - 9 = 16.\)
Vậy c = 4.
Xét điểm M(x;y) thuộc elip, ta có:
\(\left\{ \matrix{
{F_1}M = a + {c \over a}x = 5 + {4 \over 5}x \hfill \cr
{F_2}M = a - {c \over a}x = 5 - {4 \over 5}x \hfill \cr} \right.\)
Áp dụng định lí côsin trong tam giác \({F_1}M{F_2}\) ta có:
\({F_1}F_2^2 = MF_1^2 + MF_2^2 - 2M{F_1}.M{F_2}\cos {60^ \circ }\)
\( \Leftrightarrow 4{c^2} = {\left( {5 + {4 \over 5}x} \right)^2} + {\left( {5 - {4 \over 5}x} \right)^2} - 2\left( {25 - {{16} \over {25}}{x^2}} \right).{1 \over 2}\)
\(\Leftrightarrow 64 = 25 + {{48} \over {25}}{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = {{25} \over {16}}.13 \Leftrightarrow x = \pm {5 \over 4}\sqrt {13} \,\,(1)\)
Ta lại có: \(M \in \left( E \right) \Rightarrow {{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\,\,\,\,\,(2)\)
Thay (1) vào phương trình (2) ta được:
\({{{y^2}} \over 9} = 1 - {{13} \over {16}} \Leftrightarrow {y^2} = {9 \over {16}}.3 \Leftrightarrow y = \pm {3 \over 4}\sqrt 3 .\)
Vậy có bốn điểm M thỏa mãn đề bài. Chúng có tọa độ là \(\left( { \pm {5 \over 4}\sqrt {13} ; \pm {3 \over 4}\sqrt 3 } \right).\)
Sachbaitap.net
>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục