Bài 13 trang 198 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : \((x - 1) + {(y - 2)^2} = 4\) và hai điểm A(1 ; 4),     . Viết phương trình đường thẳng d đi qua B cắt đường tròn (C) tại M, N sao cho AMN có diện tích lớn nhất.

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.36)

Đường tròn (C) có tâm I(1 ; 2) và có bán kính R = 2.

Ta có \({x_A} = {x_1} = {x_B} = 1\)

Suy ra A, I, B cùng thuộc đường thẳng có phương trình x = 1.

Ta có: \(IA = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2}}  = 2 = R\)

\(IB = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {{1 \over 2} - 2} \right)}^2}}  = {3 \over 2} < R.\)

Suy ra điểm A nằm trên đường tròn và điểm B nằm trong hình tròn.

Gọi H và K là hình chiếu của I và A xuống đường thẳng d.

Ta có:

\({{{S_{AMN}}} \over {{S_{IMN}}}} = {{AK} \over {IH}} = {{AB} \over {IB}} = {{{7 \over 2}} \over {{3 \over 2}}} = {7 \over 3}.\)

Suy ra \({S_{AMN}} = {7 \over 3}{S_{IMN}}\)

\( = {7 \over 3}.{1 \over 2}.I{\rm{I}}\sin MIN\)

\( = {{14} \over 3}\sin MIN \le {{14} \over 3}.\)

\({S_{AMN}}\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \sin MIN = 1 \Leftrightarrow \widehat {MIN} = {90^ \circ }\)

\(\Leftrightarrow IH = {{R\sqrt 2 } \over 2} \Leftrightarrow d(I,MN) = \sqrt 2 \)

Phương trình đường thẳng MN là : 

\(y - {1 \over 2} = k(x - 1) \Leftrightarrow 2kx - 2y + (1 - 2k) = 0.\)

Ta có:

\(\eqalign{
& d(I,MN) = \sqrt 2 \cr
& \Leftrightarrow {{\left| {2k - 4 + 1 - 2k} \right|} \over {\sqrt {4{k^2} + 4} }} = \sqrt 2 \cr} \)

\( \Leftrightarrow 3 = \sqrt {8({k^2} + 1)}  \Leftrightarrow k =  \pm {{\sqrt 2 } \over 4}.\)

Vậy phương trình đường thẳng d là : \(y =  \pm {{\sqrt 2 } \over 4}\left( {x - 1} \right) + {1 \over 2}\).

Sachbaitap.net