Loigiaihay.com 2023

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 13 trang 198 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Bình chọn:
4 trên 2 phiếu

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : \((x - 1) + {(y - 2)^2} = 4\) và hai điểm A(1 ; 4),     . Viết phương trình đường thẳng d đi qua B cắt đường tròn (C) tại M, N sao cho AMN có diện tích lớn nhất.

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.36)

Đường tròn (C) có tâm I(1 ; 2) và có bán kính R = 2.

Ta có \({x_A} = {x_1} = {x_B} = 1\)

Suy ra A, I, B cùng thuộc đường thẳng có phương trình x = 1.

Ta có: \(IA = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {4 - 2} \right)}^2}}  = 2 = R\)

\(IB = \sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {{1 \over 2} - 2} \right)}^2}}  = {3 \over 2} < R.\)

Suy ra điểm A nằm trên đường tròn và điểm B nằm trong hình tròn.

Gọi H và K là hình chiếu của I và A xuống đường thẳng d.

Ta có:

\({{{S_{AMN}}} \over {{S_{IMN}}}} = {{AK} \over {IH}} = {{AB} \over {IB}} = {{{7 \over 2}} \over {{3 \over 2}}} = {7 \over 3}.\)

Suy ra \({S_{AMN}} = {7 \over 3}{S_{IMN}}\)

\( = {7 \over 3}.{1 \over 2}.I{\rm{I}}\sin MIN\)

\( = {{14} \over 3}\sin MIN \le {{14} \over 3}.\)

\({S_{AMN}}\) lớn nhất \( \Leftrightarrow \sin MIN = 1 \Leftrightarrow \widehat {MIN} = {90^ \circ }\)

\(\Leftrightarrow IH = {{R\sqrt 2 } \over 2} \Leftrightarrow d(I,MN) = \sqrt 2 \)

Phương trình đường thẳng MN là : 

\(y - {1 \over 2} = k(x - 1) \Leftrightarrow 2kx - 2y + (1 - 2k) = 0.\)

Ta có:

\(\eqalign{
& d(I,MN) = \sqrt 2 \cr
& \Leftrightarrow {{\left| {2k - 4 + 1 - 2k} \right|} \over {\sqrt {4{k^2} + 4} }} = \sqrt 2 \cr} \)

\( \Leftrightarrow 3 = \sqrt {8({k^2} + 1)}  \Leftrightarrow k =  \pm {{\sqrt 2 } \over 4}.\)

Vậy phương trình đường thẳng d là : \(y =  \pm {{\sqrt 2 } \over 4}\left( {x - 1} \right) + {1 \over 2}\).

Sachbaitap.net

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 10 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Bài viết liên quan