Giải các hệ phương trình sau
a) \(\left\{ \matrix{
x + y + xy = 5 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} + xy = 7; \hfill \cr} \right.\)
b) \(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} - xy = 13 \hfill \cr
x + y - \sqrt {xy} = 3. \hfill \cr} \right.\)
Gợi ý làm bài
a) \(\left\{ \matrix{
x + y + xy = 5 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} + xy = 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + y + xy = 5 \hfill \cr
{(x + y)^2} + (x + y) = 12 \hfill \cr} \right.\)
Đặt u = x + y ta được \({u^2} + u - 12 = 0\)
Giải ra ta được \({u_1} = 3,{u_2} = - 4\)
Với u = 3 ta có hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{
x + y = 3 \hfill \cr
xy = 2 \hfill \cr} \right.(*)\)
Với u = -4 ta được hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{
x + y = - 4 \hfill \cr
xy = 9 \hfill \cr} \right.\) (vô nghiệm)
Đáp số: (1; 2) và (2; 1).
b) Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = x + y \hfill \cr
v = \sqrt {xy} \hfill \cr} \right.(v \ge 0)\) ta được hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{
{u^2} - 3{v^2} = 13 \hfill \cr
u - v = 3 \hfill \cr} \right.\)
hay
\(\left\{ \matrix{
u - v = 3 \hfill \cr
{u^2} - 9u + 20 = 0 \hfill \cr} \right.\)
Giải hệ phương trình trên ta được
u = 5, v = 2
hoặc u = 4, v = 1
Vậy
\(\left\{ \matrix{
x + y = 5 \hfill \cr
\sqrt {xy} = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x = 4 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
y = 4 \hfill \cr
x = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)
và
\(\left\{ \matrix{
x + y = 4 \hfill \cr
\sqrt {xy} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x = 2 - \sqrt 3 \hfill \cr
y = 2 + \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x = 2 + \sqrt 3 \hfill \cr
y = 2 - \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)
Đáp số: Hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là
\((4;1);(1;4);(2 - \sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 );(2 + \sqrt 3 ;2 - \sqrt 3 )\)
Sachbaitap.net
>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục