Bài 20 trang 217 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Chứng minh rằng

a) \({{\sqrt {1 + \cos \alpha }  + \sqrt {1 - \cos \alpha } } \over {\sqrt {1 + \cos \alpha }  - \sqrt {1 - \cos \alpha } }} = \cot ({\alpha  \over 2} + {\pi  \over 4})\) \((\pi  < \alpha  < 2\pi )\)

b) \({{\cos 4a\tan 2a - \sin 4a} \over {\cos 4a\cot 2a + \sin 4a}} =  - {\tan ^2}2a\)

c) \({{{{\sin }^2}2a + 4{{\sin }^2}a - 4} \over {1 - 8{{\sin }^2}a - \cos 4a}} = {1 \over 2}{\cot ^4}a\)

d) \(1 + 2\cos 7a = {{\sin 10,5a} \over {\sin 3,5a}}\)

e) \({{\tan 3a} \over {\tan a}} = {{3 - {{\tan }^2}a} \over {1 - 3{{\tan }^2}a}}\)

Gợi ý làm bài

a) Vì \(\sqrt {1 + \cos \alpha }  =  - \sqrt 2 \cos {\alpha  \over 2}(do{\pi  \over 2} < {\alpha  \over 2} < \pi )\)

\(\sqrt {1 - \cos \alpha }  = \sqrt 2 \sin {\alpha  \over 2}\) cho nên

\({{\sqrt {1 + \cos \alpha }  + \sqrt {1 - \cos \alpha } } \over {\sqrt {1 + \cos \alpha }  - \sqrt {1 - \cos \alpha } }} = {{ - \sqrt 2 \cos {\alpha  \over 2} + \sqrt 2 \cos {\alpha  \over 2}} \over { - \sqrt 2 \cos {\alpha  \over 2} - \sqrt 2 \cos {\alpha  \over 2}}}\)

\( = {{\cos {\alpha  \over 2} - \sin {\alpha  \over 2}} \over {\cos {\alpha  \over 2} + \sin {\alpha  \over 2}}} = {{1 - \tan {\alpha  \over 2}} \over {1 + \tan {\alpha  \over 2}}} = \tan ({\pi  \over 4} - {\alpha  \over 2})\)

\( = \cot ({\alpha  \over 2} + {\pi  \over 4})\)

b) 

\(\eqalign{
& = {{\cos 4a\tan 2a - \sin 4a} \over {\cos 4a\cot 2a + \sin 4a}} \cr
& = {{\cos 4a\sin 2a - \sin 4a\cos 2a} \over {\cos 4a\cos 2a + \sin 4a\sin 2a}}.\tan 2a \cr} \)

\( = {{ - \sin 2a} \over {\cos 2a}}\tan 2a =  - {\tan ^2}2a$\)

c) 

\(\eqalign{
& {{{{\sin }^2}2a + 4{{\sin }^2}4a} \over {1 - {{\sin }^2}a - \cos 4a}} \cr
& = {{4{{\sin }^2}a{{\cos }^2}a + 4({{\sin }^2}a - 1)} \over {1 - 8{{\sin }^2}a - (1 - 2{{\sin }^2}2a)}} \cr} \)

\({{4{{\cos }^2}a({{\sin }^2}a - 1)} \over {8{{\sin }^2}a(co{s^2}a - 1)}} = {1 \over 2}{\cot ^4}a.\)

d) 

\(\eqalign{
& {{\sin 10,5a} \over {\sin 3,5a}} = {{\sin (7 + 3,5a)} \over {\sin 3,5a}} \cr
& = {{\sin 7a\cos 3,5a + \cos 7a\sin 3,5a} \over {\sin 3,5a}} \cr} \)

\( = {{\sin 3,5a(2{{\cos }^2}3,5a + \cos 7a)} \over {\sin 3,5a}}\)

\( = (2{\cos ^2}3,5a - 1) + 1 + cos7a\)

\( = 2cos7a + 1.\)

e) 

\(\eqalign{
& {{\tan (a + 2a)} \over {\tan a}} = {{\tan a + \tan 2a} \over {\tan a(1 - {\mathop{\rm tanatan}\nolimits} 2a}} \cr
& = {{\tan a + {{2\tan a} \over {1 - {{\tan }^2}a}}} \over {\tan a(1 - {{2{{\tan }^2}a} \over {1 - {{\tan }^2}a}})}} \cr} \)

\( = {{3 - {{\tan }^2}a} \over {1 - 3{{\tan }^2}a}}$\)

Sachbaitap.net