Bài 3.26 trang 152 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) có phương trình \({x^2} + {y^2} - 8x - 6y = 0\) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua gốc tọa độ O.

Gợi ý làm bài

Đường tròn (C) :\({x^2} + {y^2} - 8x - 6y = 0\) có tâm I(4;3) và bán kính R = 5. 

Cách 1: xét đường thẳng \(\Delta \) đi qua gốc tọa độ O và có hệ số góc k, \(\Delta\) có phương trình y - kx = 0

Ta có: \(\Delta \) tiếp xúc với (C)  \(\Leftrightarrow d(I,\Delta ) = R\)

\( \Leftrightarrow {{\left| {3 - 4k} \right|} \over {\sqrt {{k^2} + 1} }} = 5\)

\( \Leftrightarrow {\left( {3 - 4k} \right)^2} = 25({k^2} + 1)\)

\( \Leftrightarrow 9 + 16{k^2} - 24k = 25{k^2} + 25\)

\( \Leftrightarrow 9{k^2} + 24k + 16 = 0\)

\( \Leftrightarrow k =  - {4 \over 3}.\)

Vậy ta được phương trình tiếp tuyến là: \(y + {4 \over 3}x = 0\) hay 4x + 3y = 0

Cách 2: Do tọa độ O(0;0) thỏa mãn phương trình của (C) nên điểm O nằm trên (C). Tiếp tuyến với (C) tại O có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {OI}  = (4;3)\)

Suy ra \(\Delta \) có phương trình

4x + 3y = 0.

Sachbaitap.net