Bài 3.55 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : \({(x - 2)^2} + {y^2} = {4 \over 5}\) và đường thẳng \({\Delta _1}:x - y = 0\), \({\Delta _2}:x - 7y = 0\). Xác định tọa độ tâm K vàn bán kính của đường tròn (C1) ; biết đường tròng (C1) tiếp xúc với các đường thẳng \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\) và tâm K không thuộc đường tròn (C).

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.15)

Gọi \(K\left( {a;b} \right)\,;\,k \in (C) \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} = {5 \over 4}\,\,\,\,\,(1)\)

\(({C_1})\) tiếp xúc với \({\Delta _1},{\Delta _2} \Leftrightarrow {{\left| {a - b} \right|} \over {\sqrt 2 }} = {{\left| {a - 7b} \right|} \over {5\sqrt 2 }}\,\,(2).\)

Từ (1) và (2) cho ta : 

\(\left\{ \matrix{
5{\left( {a - 2} \right)^2} + 5{b^2} = 4 \hfill \cr
5\left| {a - b} \right| = \left| {a - 7b} \right| \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
5{\left( {a - 2} \right)^2} + 5{b^2} = 4 \hfill \cr
5\left( {a - b} \right) = a - 7b \hfill \cr} \right.\,\,\,\,(I)\,\,\,\)

và 

\(\left\{ \matrix{
5{\left( {a - 2} \right)^2} + 5{b^2} = 4 \hfill \cr
5(a - b) = 7b - a \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,(II)\)

\((I) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
25{a^2} - 20a + 16 = 0 \hfill \cr
b = - 2a \hfill \cr} \right.\)

(vô nghiệm)

\((II) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 2b \hfill \cr
25{b^2} - 40b + 16 = 0 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left( {a;b} \right) = \left( {{8 \over 5};{4 \over 5}} \right).\)

Bán kính (C1): \(R = {{\left| {a - b} \right|} \over {\sqrt 2 }} = {{2\sqrt 2 } \over 5}.\)

Vậy \(K\left( {{8 \over 5};{4 \over 5}} \right)\) và \(R = {{2\sqrt 2 } \over 5}.\)

Sachbaitap.net