Loigiaihay.com 2023

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Bài 37 trang 197 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Bình chọn:
4 trên 2 phiếu

Tính các góc của tam giác ABC.

Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện \({\rm{cos2A + 2}}\sqrt 2 \cos B + 2\sqrt 2 \cos C = 3\)ợi ý làm bài

Hướng dẫn

Giả thiết tam giác ABC không tù có nghĩa là các góc của tam giác nhỏ hơn hoặc bằng \({\pi  \over 2}\) và hiệu của hai góc cũng nằm trong khoảng từ \( - {\pi  \over 2}\) đến \({\pi  \over 2}\). Do đó với \(A \le {\pi  \over 2}\) thì \(\cos {A \over 2} \ge \cos {\pi  \over 4} = {{\sqrt 2 } \over 2}\) còn với \( - {\pi  \over 2} < B - C < {\pi  \over 2}\) thì \( - {\pi  \over 4} < {{B - C} \over 2} < {\pi  \over 4}\) do đó \(\cos {{B - C} \over 2} > 0\)

Giải chi tiết

Ta có

\(\cos 2A + 2\sqrt 2 (\cos B + \cos C) = 3\)

\( \Leftrightarrow 1 - 2si{n^2}A + 4\sqrt 2 \cos {{B + C} \over 2}\cos {{B - C} \over 2} = 3\)

\( \Leftrightarrow 1 - 2si{n^2}A + 4\sqrt 2 sin{A \over 2}\cos {{B - C} \over 2} = 3\)

\( \Leftrightarrow 2si{n^2}A - 4\sqrt 2 sin{A \over 2}\cos {{B - C} \over 2} + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow si{n^2}A - 2\sqrt 2 sin{A \over 2}\cos {{B - C} \over 2} + 1 = 0\)

Tam giác ABC không tù nên \(\cos {A \over 2} \ge {{\sqrt 2 } \over 2}\), suy ra \(\sqrt 2  \le 2\cos {A \over 2}\). Mặt khác, \(\cos {{B - C} \over 2} > 0\) nên ta có

\(2\sqrt 2 sin{A \over 2}\cos {{B - C} \over 2} \le 4sin{A \over 2}\cos {A \over 2}\cos {{B - C} \over 2}\)

Hay \( - 2\sqrt 2 sin{A \over 2}\cos {{B - C} \over 2} \ge  - 2\sin A\cos {{B - C} \over 2}\)

Vì vậy vế trái của (*) \( \ge si{n^2}A - 2\sin A\cos {{B - C} \over 2} + 1\)

\( = {(\sin A - \cos {{B - C} \over 2})^2} - {\cos ^2}{{B - C} \over 2} + 1\)

\( = {(\sin A - \cos {{B - C} \over 2})^2} + {\sin ^2}{{B - C} \over 2} \ge 0\)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  \(\left\{ \matrix{
B - C = 0 \hfill \cr
\sin A = \cos {{B - C} \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
B = C \hfill \cr
\sin A = 1 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow A = {\pi  \over 2},B = C = {\pi  \over 4}\)

Vậy ABC là tam giác vuông cân.

Sachbaitap.net

Bài tiếp theo

Xem lời giải SGK - Toán 10 - Xem ngay

>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Bài viết liên quan