Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện \({\rm{cos2A + 2}}\sqrt 2 \cos B + 2\sqrt 2 \cos C = 3\)ợi ý làm bài
Hướng dẫn
Giả thiết tam giác ABC không tù có nghĩa là các góc của tam giác nhỏ hơn hoặc bằng \({\pi \over 2}\) và hiệu của hai góc cũng nằm trong khoảng từ \( - {\pi \over 2}\) đến \({\pi \over 2}\). Do đó với \(A \le {\pi \over 2}\) thì \(\cos {A \over 2} \ge \cos {\pi \over 4} = {{\sqrt 2 } \over 2}\) còn với \( - {\pi \over 2} < B - C < {\pi \over 2}\) thì \( - {\pi \over 4} < {{B - C} \over 2} < {\pi \over 4}\) do đó \(\cos {{B - C} \over 2} > 0\)
Giải chi tiết
Ta có
\(\cos 2A + 2\sqrt 2 (\cos B + \cos C) = 3\)
\( \Leftrightarrow 1 - 2si{n^2}A + 4\sqrt 2 \cos {{B + C} \over 2}\cos {{B - C} \over 2} = 3\)
\( \Leftrightarrow 1 - 2si{n^2}A + 4\sqrt 2 sin{A \over 2}\cos {{B - C} \over 2} = 3\)
\( \Leftrightarrow 2si{n^2}A - 4\sqrt 2 sin{A \over 2}\cos {{B - C} \over 2} + 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow si{n^2}A - 2\sqrt 2 sin{A \over 2}\cos {{B - C} \over 2} + 1 = 0\)
Tam giác ABC không tù nên \(\cos {A \over 2} \ge {{\sqrt 2 } \over 2}\), suy ra \(\sqrt 2 \le 2\cos {A \over 2}\). Mặt khác, \(\cos {{B - C} \over 2} > 0\) nên ta có
\(2\sqrt 2 sin{A \over 2}\cos {{B - C} \over 2} \le 4sin{A \over 2}\cos {A \over 2}\cos {{B - C} \over 2}\)
Hay \( - 2\sqrt 2 sin{A \over 2}\cos {{B - C} \over 2} \ge - 2\sin A\cos {{B - C} \over 2}\)
Vì vậy vế trái của (*) \( \ge si{n^2}A - 2\sin A\cos {{B - C} \over 2} + 1\)
\( = {(\sin A - \cos {{B - C} \over 2})^2} - {\cos ^2}{{B - C} \over 2} + 1\)
\( = {(\sin A - \cos {{B - C} \over 2})^2} + {\sin ^2}{{B - C} \over 2} \ge 0\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \matrix{
B - C = 0 \hfill \cr
\sin A = \cos {{B - C} \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
B = C \hfill \cr
\sin A = 1 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow A = {\pi \over 2},B = C = {\pi \over 4}\)
Vậy ABC là tam giác vuông cân.
Sachbaitap.net
>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục