Viết phương trình chính tắc của elip (E) \({F_1}\) và \({F_2}\) biết:
a) (E) đi qua hai điểm \(M\left( {4;{9 \over 5}} \right)\) và \(N\left( {3;{{12} \over 5}} \right)\);
b) (E) đi qua \(M\left( {{3 \over {\sqrt 5 }};{4 \over {\sqrt 5 }}} \right)\) và tam giác \(M{F_1}{F_2}\) vuông tại M.
Gợi ý làm bài
a) Xét elip (E): \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)
(E) đi qua \(M\left( {4;{9 \over 5}} \right)\) và \(N\left( {3;{{12} \over 5}} \right)\) nên thay tọa độ của M và N vào phương trình của (E) ta được:
\(\left\{ \matrix{
{{16} \over {{a^2}}} + {{81} \over {25{b^2}}} = 1 \hfill \cr
{9 \over {{a^2}}} + {{144} \over {25{b^2}}} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{a^2} = 25 \hfill \cr
{b^2} = 9. \hfill \cr} \right.\)
Vậy phương trình của (E) là : \({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\)
b) xét elip (E) : \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\)
Vì \(M\left( {{3 \over {\sqrt 5 }};{4 \over {\sqrt 5 }}} \right) \in (E)\) nên \({9 \over {5{a^2}}} + {{16} \over {5{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,(1)\)
Ta có : \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^ \circ } \Rightarrow OM = O{F_1}\)
\( \Rightarrow {c^2} = O{M^2} = {9 \over 5} + {{16} \over 5} = 5\)
và: \({a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 5\)
Thay vào (1) ta được :
\(\eqalign{
& {9 \over {5\left( {{b^2} + 5} \right)}} + {{16} \over {5{b^2}}} = 1 \cr
& \Leftrightarrow 9{b^2} + 16\left( {{b^2} + 5} \right) = 5{b^2}({b^2} + 5) \cr} \)
\( \Leftrightarrow {b^4} = 14\)
\( \Leftrightarrow {b^2} = 4\)
Suy ra \({a^2} = 9\)
Vậy phương trình chính tắc của (E) là
\({{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 4} = 1\)
Sachbaitap.net
>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục