Bài 3.34 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Cho elip (E) : \(9{x^2} + 25{y^2} = 225\)

a) Tìm tọa độ hai điểm \({F_1}\), \({F_2}\) và các đỉnh của (E).

b) Tìm \(M \in (E)\) sao cho M nhìn \({F_1}\), \({F_2}\) dưới một góc vuông.

Gợi ý làm bài

(E): \(9{x^2} + 25{y^2} = 225 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\)

a) Ta có : \({a^2} = 25,{b^2} = 9\)

\(\Rightarrow a = 5,b = 3\)

Ta có : \({c^2} = {a^2} - {b^2} = 16\)

\( \Rightarrow c = 4\)

Vậy (E) có hai tiêu điểm là : \({F_1}\left( { - 4;0} \right)\) và \({F_2}\left( {4;0} \right)\) và có bốn đỉnh là \({A_1}\left( { - 5;0} \right)\), \({A_2}\left( {5;0} \right)\), \({B_1}\left( {0; - 3} \right)\), \({B_2}\left( {0;3} \right)\).

b) Gọi M(x;y) là điểm cần tìm, ta có : 

\(\left\{ \matrix{
M \in (E) \hfill \cr
\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^ \circ } \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
M \in (E) \hfill \cr
O{M^2} = {c^2} \hfill \cr} \right.\left\{ \matrix{
9{x^2} + 25{y^2} = 225 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} = 16 \hfill \cr} \right.\)

\(\left\{ \matrix{
{x^2} = {{175} \over {16}} \hfill \cr
{y^2} = {{81} \over {16}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \pm {{5\sqrt 7 } \over 4} \hfill \cr
y = \pm {9 \over 4}. \hfill \cr} \right.\)

Vậy có bốn điểm M thỏa mãn điều kiện của đề bài là : 

\(\left( {{{5\sqrt 7 } \over 4};{9 \over 4}} \right)\), \(\left( {{{5\sqrt 7 } \over 4}; - {9 \over 4}} \right)\), \(\left( { - {{5\sqrt 7 } \over 4};{9 \over 4}} \right)\), \(\left( { - {{5\sqrt 7 } \over 4}; - {9 \over 4}} \right)\)

Sachbaitap.net