Chứng minh rằng các biểu thức sau là những số không phụ thuộc \(\alpha \)
a) \(A = 2({\sin ^6}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^6}\alpha ) - 3({\sin ^4}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha )\)
b) \(A = 4({\sin ^4}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha ) - c{\rm{os4}}\alpha \)
c) \(C = 8(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^8}\alpha - {\sin ^8}\alpha ) - \cos 6\alpha - 7\cos 2\alpha \)
Gợi ý làm bài
a) \(A = 2({\sin ^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha )({\sin ^4}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha - {\sin ^2}\alpha co{s^2}\alpha ) - 3({\sin ^4}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha )\)
= \( - {\sin ^4}\alpha - {\cos ^4}\alpha - 2{\sin ^2}{\cos ^2}\alpha \)
= \( - {({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha )^2} = - 1\)
b) \(A = 4{\rm{[}}{({\sin ^2}\alpha + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha )^2} - 2{\sin ^2}\alpha c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha {\rm{]}} - c{\rm{os4}}\alpha \)
= \(4\left( {1 - {1 \over 2}{{\sin }^2}2\alpha } \right) - 1 + 2{\sin ^2}2\alpha = 3\)
c) \(C = 8(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha - {\sin ^4}\alpha )(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^4}\alpha + {\sin ^4}\alpha ) - \cos 6\alpha - 7\cos 2\alpha \)
\( = 8(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha - {\sin ^2}\alpha )(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha ){\rm{[}}{(c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha )^2} - 2{\sin ^2}\alpha c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha {\rm{]}} - \cos 6\alpha - 7\cos 2\alpha \)
\( = 8c{\rm{os}}2\alpha \left( {1 - {1 \over 2}si{n^2}2\alpha } \right) - c{\rm{os6}}\alpha {\rm{ - 7cos2}}\alpha \)
\( = c{\rm{os}}2\alpha - 4\cos 2\alpha si{n^2}2\alpha - c{\rm{os(4}}\alpha + {\rm{2}}\alpha )\)
\( = c{\rm{os}}2\alpha - 2\sin 4\alpha sin2\alpha - c{\rm{os4}}\alpha c{\rm{os2}}\alpha + \sin 4\alpha sin2\alpha \)
\( = c{\rm{os}}2\alpha - (\cos 4\alpha \cos 2\alpha + \sin {\rm{4}}\alpha \sin {\rm{2}}\alpha )\)
\( = \cos 2\alpha - c{\rm{os2}}\alpha {\rm{ = 0}}\)
Sachbaitap.net
>> Học trực tuyến Lớp 10 tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Bài viết liên quan
Các bài khác cùng chuyên mục