Bài 63 trang 124 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn điều kiện \({a^3} > 36\) và abc = 1

Xét tam thức bậc hai \(f(x) = {x^2} - {\rm{a}}x - 3ac + {{{a^2}} \over 3}\)

a) Chứng minh rằng \(f(x) > 0,\forall x\);

b) Từ câu a) suy ra \({{{a^2}} \over 3} + {b^2} + {c^2} > ab + bc + ca.\)

Gợi ý làm bài

a) f(x) có

\(\eqalign{
& \Delta = {a^2} - 4( - 3bc + {{{a^2}} \over 3}) = {{ - {a^2}} \over 3} + 12bc \cr
& = {{ - {a^2}} \over 3} + {{12abc} \over a} = {{ - {a^2}} \over 3} + {{12} \over a} \cr} \)

\( = {{36 - {a^3}} \over {3a}} < 0\) (do giả thiết \({a^3} > 36\))

=> \(f(x) > 0,\forall x\)

b) \({{{a^2}} \over 3} + {b^2} + {c^2} > ab + bc + ca\)

\( \Leftrightarrow {{{a^2}} \over 3} + {(b + c)^2} - 2bc > bc + a(b + c)\)

\( \Leftrightarrow {(b + c)^2} - a(b + c) - 3bc + {{{a^2}} \over 3} > 0\)

\( \Leftrightarrow f(b + c) > 0\) đúng vì \(f(x) > 0,\forall x.\)

Sachbaitap.net